A lógica proposicional estuda afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas e como elas são negadas ou combinadas.
Nesta aula de lógica proposicional para concursos, você aprenderá a identificar proposições, reconhecer os principais conectivos e interpretar suas tabelas-verdade.
Começaremos pelas definições e pelos exemplos. Ao final, tente resolver os exercícios antes de consultar as respostas.
1. O que são proposições lógicas?
Uma proposição é uma frase declarativa que, no contexto considerado, tem um único valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). Uma frase declarativa apresenta uma afirmação, em vez de fazer uma pergunta ou dar uma ordem.
| Frase | É proposição? | Motivo |
|---|---|---|
| “Brasília é a capital do Brasil.” | Sim | É uma afirmação verdadeira. |
| “7 é um número par.” | Sim | É uma afirmação falsa. |
| “Feche a porta.” | Não | É uma ordem. |
| “Que horas são?” | Não | É uma pergunta. |
| “Que lugar bonito!” | Não, nesse exemplo | Expressa uma apreciação, sem um critério definido para classificá-la como V ou F. |
| “x + 2 = 5.” | Não, isoladamente | Depende do valor de x. É uma sentença aberta. |
Uma frase falsa também é uma proposição. O requisito é que ela tenha um valor lógico, e não que seja verdadeira.
Não precisamos conhecer esse valor para que a frase seja uma proposição. “Existe uma moeda dentro desta caixa” pode ser verdadeira ou falsa, mesmo que ninguém tenha aberto a caixa.
Já em “x + 2 = 5”, falta determinar x. Se substituirmos x por 3, teremos “3 + 2 = 5”, uma proposição verdadeira. Se substituirmos x por 1, teremos uma proposição falsa.
Proposição simples e composta
Uma proposição simples não resulta da aplicação de conectivos lógicos a outras proposições. Podemos representá-la por letras:
- p: “Lucas estuda.”
- q: “Lucas trabalha.”
Uma proposição composta resulta da aplicação de um conectivo a uma ou mais proposições:
- “Lucas estuda e trabalha.” — p ∧ q.
- “Se Lucas estuda, então Lucas trabalha.” — p → q.
- “Lucas não estuda.” — ¬p.
As letras p, q, r… representam proposições. Elas não indicam, por si só, se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Atenção à classificação
Nesta aula, a negação é tratada como composta, pois resulta da aplicação do conectivo “não” a outra proposição. Alguns materiais adotam outra convenção; observe o critério informado no enunciado ou no material de estudo.
O tamanho da frase não determina sua classificação. “Curitiba é a capital do estado do Paraná” é uma proposição simples.
2. Princípios da lógica clássica
Nesta aula, trabalhamos com a lógica clássica. Ela considera que cada proposição tem exatamente um de dois valores lógicos: V ou F. Essa característica é chamada de bivalência.
| Princípio | Significado |
|---|---|
| Identidade | Uma proposição é idêntica a si mesma: p é p. |
| Não contradição | Uma proposição e sua negação não podem ser ambas verdadeiras, no mesmo instante e nas mesmas condições. |
| Terceiro excluído | Para qualquer proposição p, “p ou não p” é sempre verdadeiro: p ∨ ¬p. |
Por exemplo, “7 é par ou 7 não é par” é verdadeiro, pois uma das duas afirmações é verdadeira.
Considere agora “A porta está aberta”. Fixados a porta, o instante e o sentido de “aberta”, essa afirmação e sua negação não podem ser ambas verdadeiras. Se a porta mudar de posição, estaremos avaliando outra situação.
3. Conectivos lógicos
Os conectivos lógicos permitem negar ou combinar proposições. Nos primeiros exemplos, usaremos:
- p: “Estudo.”
- q: “Trabalho.”
3.1. Negação — ¬p
Lemos “não p”. A negação inverte o valor lógico da proposição.
| p | ¬p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Se p é “Estudo”, ¬p é “Não estudo”. A negação também pode aparecer como ~p ou na expressão “Não é verdade que estudo”.
Uma observação para as próximas aulas
Negar “Todo aluno estuda” é dizer “Pelo menos um aluno não estuda”. Basta um aluno que não estude para tornar falsa a afirmação inicial. “Nenhum aluno estuda” afirma algo mais forte: que não há aluno que estude. Esse assunto será aprofundado no estudo dos quantificadores.
3.2. Conjunção — p ∧ q
Lemos “p e q”. Exemplo: “Estudo e trabalho”.
A conjunção só é verdadeira quando as duas proposições são verdadeiras.
Se eu estudo, mas não trabalho, a afirmação “Estudo e trabalho” é falsa: uma das partes não foi satisfeita.
Palavras como “mas” e “porém” também podem representar conjunção. “Estudo, mas trabalho” tem a estrutura p ∧ q. A ideia de contraste não altera sua tabela-verdade.
3.3. Disjunção inclusiva — p ∨ q
Lemos “p ou q”. Exemplo: “Estudo ou trabalho”.
É verdadeira quando pelo menos uma das proposições é verdadeira, inclusive quando as duas são.
Se eu estudo e também trabalho, a disjunção inclusiva continua verdadeira. Ela só é falsa quando não estudo e não trabalho.
Na lógica proposicional, o conectivo “ou” é inclusivo quando o enunciado não estabelece exclusividade.
3.4. Disjunção exclusiva — p ⊕ q
Lemos “ou p ou q, mas não ambos”. Exemplo: “Ou estudo ou trabalho, mas não faço as duas coisas”.
É verdadeira quando exatamente uma das proposições é verdadeira.
Se as duas forem verdadeiras, a disjunção exclusiva será falsa. Se as duas forem falsas, também será falsa.
O símbolo pode variar entre materiais. Observe sempre a definição apresentada.
3.5. Condicional — p → q
Lemos “se p, então q”. Para entender esse conectivo, vamos usar uma promessa:
- p: “Passo no concurso.” É o antecedente, a condição apresentada.
- q: “Comprarei um computador.” É o consequente, o que se afirma caso a condição seja satisfeita.
A condicional só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa: V → F.
A promessa é descumprida quando eu passo no concurso e não compro o computador.
Se eu não passar, a promessa não determina se comprarei ou não. Na tabela-verdade, quando o antecedente p é falso, a condicional é verdadeira, seja q verdadeira ou falsa.
Condicional não exige causa e efeito
Na lógica proposicional, p → q é avaliada pelos valores de p e q. Ela não exige que p seja a causa de q.
Atenção: p → q não afirma automaticamente q → p. A promessa de comprar se eu passar não significa que, se eu comprar, terei passado: posso comprar o computador por outro motivo.
3.6. Bicondicional — p ↔ q
Lemos “p se, e somente se, q”. Retomando p como “Estudo” e q como “Trabalho”, temos: “Estudo se, e somente se, trabalho”.
A bicondicional reúne as duas direções:
- Se estudo, então trabalho: p → q.
- Se trabalho, então estudo: q → p.
É verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico: ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Se apenas uma for verdadeira, uma das duas condicionais será falsa. Por isso, a bicondicional também será falsa.
4. Tabela-verdade dos conectivos
A tabela-verdade mostra o resultado de uma expressão em cada combinação possível de valores das proposições.
Como p pode ser V ou F e q também pode ser V ou F, temos quatro combinações: VV, VF, FV e FF. Compare os resultados dos conectivos em cada linha.
| p | q | p ∧ q E | p ∨ q Ou inclusivo | p ⊕ q Ou exclusivo | p → q Se… então | p ↔ q Se e somente se |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F | V | V |
| V | F | F | V | V | F | F |
| F | V | F | V | V | V | F |
| F | F | F | F | F | V | V |
Por exemplo, na segunda linha, p é V e q é F. A conjunção é falsa porque as duas não são verdadeiras. A condicional também é falsa: essa é sua única combinação falsa.
5. Resumo para memorizar
- Proposição: afirmação com valor V ou F, no contexto considerado.
- Negação — ¬p: inverte o valor lógico.
- E — p ∧ q: exige as duas verdadeiras.
- Ou inclusivo — p ∨ q: exige pelo menos uma verdadeira.
- Ou exclusivo — p ⊕ q: exige exatamente uma verdadeira.
- Se… então — p → q: só é falsa em V → F.
- Se e somente se — p ↔ q: exige valores iguais.
6. Exercícios rápidos com respostas comentadas
Tente resolver antes de abrir cada resposta. Use as regras acima para justificar sua escolha.
Exercício 1 — Identificação de proposições
A frase “9 é um número par” é uma proposição? Por quê?
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Sim. É uma frase declarativa que tem valor lógico falso, pois 9 é ímpar. Uma afirmação não precisa ser verdadeira para ser uma proposição.
Exercício 2 — Conjunção e disjunções
Sabendo que p é verdadeira e q é falsa, determine os valores de p ∧ q, p ∨ q e p ⊕ q.
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- p ∧ q é F: a conjunção exige as duas verdadeiras.
- p ∨ q é V: pelo menos uma é verdadeira.
- p ⊕ q é V: exatamente uma é verdadeira.
Exercício 3 — Condicional
Considere: “Se eu passar no concurso, comprarei um computador”. Em qual situação essa condicional é falsa?
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Ela é falsa quando eu passo no concurso e não compro o computador: o antecedente é V e o consequente é F. Se eu não passar, a condicional será verdadeira na tabela-verdade, independentemente da compra.
Com essas regras, você já tem a base para identificar proposições e resolver questões introdutórias sobre conectivos lógicos. Se alguma resposta gerou dúvida, volte ao conectivo correspondente e compare os valores na tabela-verdade.
Perguntas frequentes sobre lógica proposicional para concursos
Como saber se uma frase é uma proposição lógica?
Veja se a frase faz uma afirmação que, no contexto dado, tem valor verdadeiro ou falso. “9 é um número par” é uma proposição falsa. Já “Que horas são?” é uma pergunta e não tem valor lógico.
Qual é a diferença entre proposição simples e composta?
Uma proposição simples, como “Ana estuda”, não resulta da aplicação de um conectivo. Uma composta usa um conectivo para negar ou combinar proposições. Em “Ana estuda e trabalha”, o conectivo “e” une duas afirmações.
Qual é a diferença entre o “ou” inclusivo e o “ou” exclusivo?
O “ou” inclusivo é verdadeiro quando pelo menos uma das proposições é verdadeira. O exclusivo exige que exatamente uma seja verdadeira. Se as duas forem verdadeiras, o inclusivo é verdadeiro e o exclusivo é falso.
Quando a proposição “se p, então q” é falsa?
A condicional p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa. Por exemplo, “Se eu passar no concurso, comprarei um computador” é falsa se eu passar e não comprar o computador.
Como montar uma tabela-verdade com duas proposições?
Liste as quatro combinações possíveis de p e q: VV, VF, FV e FF. Depois, aplique a regra do conectivo em cada linha. Para p ∧ q, por exemplo, os resultados são V, F, F e F, nessa ordem.
