1.0 Introdução
A Progressão Geométrica (PG) é um dos tópicos de Raciocínio Lógico e Matemática (RLM) mais cobrados pelas principais bancas organizadoras do país, como Cebraspe, FGV, Cesgranrio, Vunesp e FCC.
Diferente da Progressão Aritmética (PA), que avança por somas sucessivas, a PG representa um crescimento ou decrescimento multiplicativo (comportamento exponencial).
Em provas de concurso, a PG aparece contextualizada em problemas de proliferação de vírus, disseminação de informações, depreciação de bens, rendimentos acumulados e sequências lógicas. Dominar a identificação imediata da razão e a aplicação correta do Termo Geral garante pontos valiosos e reduz drasticamente o tempo gasto por questão.
1.1 Esta é a Aula 1: Fundamentos da PG, Termo Geral e Classificação
Nesta primeira aula, você vai dominar a estrutura da PG, o cálculo da razão, a classificação completa das sequências e a fórmula do Termo Geral, aprendendo a desviar das principais pegadinhas de prova.
2.0 O que é Progressão Geométrica (PG)?
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (\(q\)).
Em outras palavras: se a divisão entre qualquer termo (a partir do segundo) e seu antecedente imediato permanece sempre igual, temos uma PG.
2.1 Identificação da Razão (\(q\))
Para encontrar a razão de qualquer PG, basta dividir qualquer termo pelo seu antecedente imediato:
Exemplo Prático
Na sequência \((3, 6, 12, 24, 48, \dots)\):
- \(a_1 = 3\)
- \(q = \frac{6}{3} = 2\) ou \(q = \frac{12}{6} = 2\)
Como a razão é constante e igual a 2, trata-se de uma PG.
A diferença entre acertar e errar uma questão de PG muitas vezes está na identificação imediata do padrão multiplicativo. Confira no resumo visual abaixo a comparação essencial entre PA e PG e os atalhos para encontrar a razão.
2.2 Regra do Filtro: PA ou PG?
- Somou ou subtraiu um valor fixo? É uma PA! Exemplo: \((2, 5, 8, 11) \Rightarrow \text{Soma } +3\) (crescimento linear).
- Multiplicou ou dividiu por um valor fixo? É uma PG! Exemplo: \((2, 6, 18, 54) \Rightarrow \text{Multiplica por } \times 3\) (crescimento exponencial).
3.0 Elementos de uma Progressão Geométrica
Para resolver questões de PG, é fundamental reconhecer a representação e o significado de cada elemento da sequência.
| Elemento | Representação | O que significa? |
|---|---|---|
| Primeiro Termo | \(a_1\) | Primeiro termo da sequência. |
| Termo Geral / Enésimo Termo | \(a_n\) | Termo geral (ou valor do termo na posição \(n\)). |
| Posição / Número do Termo | \(n\) | A posição do termo (número de termos até \(a_n\)). |
| Razão | \(q\) | Razão da PG, encontrada por \(q = \frac{a_n}{a_{n-1}}\). |
4.0 Classificação Completa das PGs
As bancas examinadoras — em especial o Cebraspe — adoram testar o conhecimento conceitual sobre a classificação de uma PG. A classificação depende do sinal do primeiro termo (\(a_1\)) e do valor da razão (\(q\)).
| Classificação | Condição | Exemplo | Comportamento dos Termos |
|---|---|---|---|
| Crescente | \(a_1 > 0 \text{ e } q > 1\) ou \(a_1 < 0 \text{ e } 0 < q < 1\) | \((2, 6, 18, 54, \dots)\) \((-100, -50, -25, \dots)\) | Os termos aumentam de valor ao longo da sequência. |
| Decrescente | \(a_1 > 0 \text{ e } 0 < q < 1\) ou \(a_1 < 0 \text{ e } q > 1\) | \((80, 40, 20, 10, \dots)\) \((-2, -6, -18, -54, \dots)\) | Os termos diminuem de valor ao longo da sequência. |
| Oscilante (Alternada) | \(q < 0\) (razão negativa) | \((3, -6, 12, -24, 48, \dots)\) | Os sinais dos termos alternam continuamente entre positivo e negativo. |
| Constante | \(q = 1\) | \((7, 7, 7, 7, \dots)\) | Todos os termos são rigorosamente iguais. |
| Estacionária | \(a_1 \neq 0 \text{ e } q = 0\) | \((5, 0, 0, 0, \dots)\) | O primeiro termo é diferente de zero e todos os seguintes tornam-se zero. |
A classificação das sequências é uma das estratégias favoritas de bancas como o Cebraspe para testar conceitos. Analise o mapa visual a seguir e aprenda a desviar da clássica pegadinha do primeiro termo negativo.
Achar que toda PG com razão fracionária é decrescente é um erro comum.
Se \(a_1 = -100\) e \(q = \frac{1}{2}\), a PG é \((-100, -50, -25, -12,5, \dots)\).
Observe que \(-50 > -100\). Logo, essa PG é CRESCENTE, mesmo tendo razão fracionária \(0 < q < 1\).
5.0 Fórmula do Termo Geral da PG (\(a_n\))
A fórmula do Termo Geral permite encontrar qualquer posição de uma PG sem precisar calcular todos os termos intermediários.
Entendendo os componentes da fórmula:
- \(a_n\): O termo que você quer encontrar (ou o valor da posição \(n\)).
- \(a_1\): O primeiro termo da PG.
- \(q\): A razão da PG.
- \(n\): A posição do termo (número de termos até \(a_n\)).
- \(n-1\): O número de “passos” (multiplicações) dados a partir de \(a_1\).
Quando usar: Sempre que a questão pedir o valor de um termo em uma posição específica, o número total de termos ou o valor da razão.
5.1 Regra dos Passos (Atalho para Prova)
Você não precisa sempre sair de \(a_1\). É possível partir de qualquer termo \(a_k\):
- \(a_{10} = a_1 \cdot q^9\) (do 1º ao 10º termo dá-se 9 passos)
- \(a_{10} = a_4 \cdot q^6\) (do 4º ao 10º termo dá-se 6 passos)
- \(a_7 = a_3 \cdot q^4\) (do 3º ao 7º termo dá-se 4 passos)
Exemplo Prático: Disseminação de Vírus / Informação
Problema: Em uma rede social, uma fake news é enviada inicialmente por 1 pessoa (\(a_1 = 1\)). Cada pessoa que recebe a mensagem compartilha-a imediatamente com outras 3 pessoas. Quantas pessoas receberão a mensagem na 6ª etapa de compartilhamento?
Resolução:
- \(a_1 = 1\)
- \(q = 3\)
- \(n = 6\)
Aplicando a fórmula do Termo Geral:
Resposta: Na 6ª etapa, 243 pessoas receberão a mensagem.
Cuidado para não usar o expoente \(n\) em vez de \(n-1\). Para achar o 10º termo (\(a_{10}\)), o expoente da razão é \(9\), não \(10\).
6.0 O que você precisa memorizar
🧠 Dica de Memorização: “Para andar \(n\) degraus saindo do primeiro, você dá \(n-1\) passos.”
- 5º termo \(\Rightarrow q^4\)
- 8º termo \(\Rightarrow q^7\)
- 12º termo \(\Rightarrow q^{11}\)
- Diferenciação entre PA e PG: PA soma (\(+r\)), PG multiplica (\(\times q\)).
- Cálculo da razão \(q\): Divisão de um termo pelo seu anterior (\(q = \frac{a_2}{a_1}\)).
- Termo Geral com base qualquer: \(a_n = a_k \cdot q^{n-k}\).
- Classificação da PG Oscilante: Razão negativa (\(q < 0\)) gera termos com sinais alternados.
7.0 Erros comuns dos candidatos
Alguns erros aparecem com bastante frequência em questões de PG:
- Multiplicar o valor do termo pelo expoente em vez de efetuar a potenciação: Exemplo: calcular \(3^5 = 15\) ao invés de \(243\).
- Confundir o índice \(n\) com o expoente \(n-1\): Lembre-se sempre de subtrair 1 ao sair de \(a_1\).
-
Errar o sinal de potências com base negativa:
- \((-2)^4 = +16\) (expoente par \(\Rightarrow\) resultado positivo).
- \((-2)^3 = -8\) (expoente ímpar \(\Rightarrow\) resultado negativo).
8.0 Exercício Resolvido
Uma empresa de tecnologia constatou que o número de novos clientes cadastrados em seu aplicativo cresce em progressão geométrica a cada mês. No 2º mês de funcionamento, foram cadastrados 120 novos clientes e, no 5º mês, foram cadastrados 3.240 novos clientes.
O número de novos clientes cadastrados no 1º mês foi igual a:
A) 20
B) 30
C) 40
D) 60
E) 80
Passo 1: Identificar os dados fornecidos pelo enunciado.
- \(a_2 = 120\)
- \(a_5 = 3.240\)
- \(a_1 = ?\)
Passo 2: Utilizar a relação entre dois termos quaisquer (\(a_5\) e \(a_2\)) para encontrar a razão \(q\).
Passo 3: Encontrar o primeiro termo (\(a_1\)) a partir de \(a_2\).
Estratégia de resolução: Em vez de voltar até \(a_1\) para montar um sistema de equações, conecte diretamente os dois termos conhecidos (\(a_5\) e \(a_2\)). Isso economiza metade do tempo de prova.
Resolver questões é uma das formas mais eficientes de consolidar o conteúdo e identificar os assuntos mais cobrados pelas bancas. Explore nossa coleção de exercícios resolvidos passo a passo em Matemática, Português, Direito, Conhecimentos Bancários e diversas outras disciplinas.
Ver todos os exercícios resolvidos9.0 Próxima aula
Agora que você já domina a estrutura da PG, o cálculo da razão, a classificação e a fórmula do Termo Geral, estamos prontos para dar o próximo passo.
Na Aula 2, estudaremos as fórmulas da Soma dos Termos de uma PG Finita e da Soma da PG Infinita, explorando as condições de convergência e as propriedades das médias geométricas que simplificam questões complexas da FGV e Cesgranrio.
As aulas foram pensadas de forma sequencial, portanto garanta que entendeu bem todos os pontos desta primeira aula antes de avançar.
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Acessar o conteúdo completo de PGPerguntas Frequentes (FAQ)
Como identificar rapidamente se uma sequência é PA ou PG?
Analise a relação entre os termos sucessivos. Se você precisa somar ou subtrair uma constante \(r\) tal que \(a_n – a_{n-1} = r\), trata-se de uma PA. Se você precisa multiplicar ou dividir por uma constante \(q\) tal que \(q = \frac{a_n}{a_{n-1}}\), é uma PG.
A razão de uma PG pode ser negativa ou zero?
Sim! Quando a razão é negativa (\(q < 0\)), a PG é classificada como oscilante ou alternada (os sinais dos termos alternam). Quando a razão é zero (\(q = 0\)) a partir de um primeiro termo não nulo (\(a_1 \neq 0\)), ela é chamada de estacionária.
Qual é a fórmula do Termo Geral e por que o expoente é (n – 1)?
A fórmula do Termo Geral de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]O expoente é \(n – 1\) porque representa o número de multiplicações (ou “passos”) necessárias para partir do primeiro termo \(a_1\) até alcançar o enésimo termo \(a_n\).
