A tabela-verdade é uma ferramenta da lógica proposicional que mostra quando uma expressão é verdadeira ou falsa.
Nesta aula, você aprenderá como fazer uma tabela-verdade passo a passo, com duas e três proposições, exemplos resolvidos e exercícios para concursos.
Também verá como usar a última coluna para identificar tautologia, contradição e contingência. Ao final, tente resolver os exercícios antes de abrir as respostas.
1. Quantas linhas tem uma tabela-verdade?
Cada proposição simples pode assumir dois valores, verdadeiro (V) ou falso (F). Com n proposições simples distintas, o total de combinações é dado por 2 elevado a n.
| Proposições distintas | Cálculo | Linhas de resultados |
|---|---|---|
| Apenas p | 2¹ | 2 |
| p e q | 2² | 4 |
| p, q e r | 2³ | 8 |
| p, q, r e s | 2⁴ | 16 |
Esses números contam as linhas de resultados. O cabeçalho fica fora da contagem.
Em (p ∧ q) → ¬p, há duas proposições distintas, p e q. Portanto, a tabela tem 2² = 4 linhas. A repetição de p e a presença de ¬p mantêm esse total, pois ¬p depende do valor de p.
2. Como montar uma tabela com duas proposições
Para p e q, registre as quatro combinações possíveis.
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
- Na coluna p, escreva dois V e depois dois F.
- Na coluna q, alterne V e F a cada linha.
Você pode usar outra ordem, desde que registre todas as combinações uma única vez e mantenha os valores de cada linha durante a resolução.
Revisão das regras dos conectivos
| Expressão | Regra |
|---|---|
| ¬p | Inverte o valor de p. |
| p ∧ q | Verdadeira apenas quando ambas são verdadeiras. |
| p ∨ q | Falsa apenas quando ambas são falsas. |
| p ⊕ q | Verdadeira quando exatamente uma é verdadeira. |
| p → q | Falsa apenas em V → F. |
| p ↔ q | Verdadeira quando os valores são iguais. |
3. Como resolver uma expressão por etapas
Vamos construir a tabela de ¬p ∨ q. Primeiro, liste as combinações de p e q. Depois, crie uma coluna para ¬p. Por último, aplique o conectivo ∨ entre ¬p e q.
| p | q | ¬p | ¬p ∨ q |
|---|---|---|---|
| V | V | F | V |
| V | F | F | F |
| F | V | V | V |
| F | F | V | V |
- Primeira linha — ¬p é F e q é V. F ∨ V resulta em V.
- Segunda linha — ¬p e q são F. F ∨ F resulta em F.
- Terceira linha — ambos são V. V ∨ V resulta em V.
- Quarta linha — ¬p é V e q é F. V ∨ F resulta em V.
A última coluna mostra o valor da expressão completa.
Como escolher a ordem das colunas
Resolva primeiro as partes necessárias para calcular as demais. Na expressão ¬(p ∨ q), calcule o bloco p ∨ q antes de negar seu resultado.
| p | q | p ∨ q | ¬(p ∨ q) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | F |
| V | F | V | F |
| F | V | V | F |
| F | F | F | V |
Compare as duas tabelas. ¬p ∨ q e ¬(p ∨ q) produzem resultados diferentes porque a negação afeta partes diferentes.
Identifique os blocos da expressão, crie colunas para os resultados intermediários e deixe a operação do conectivo principal para o final.
4. Como montar uma tabela com três proposições
Com p, q e r, temos 2³ = 8 linhas. Preencha as colunas seguindo este padrão.
- p — quatro V e quatro F.
- q — dois V, dois F, dois V e dois F.
- r — alterne V e F a cada linha.
| p | q | r |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | V | F |
| V | F | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | V | F |
| F | F | V |
| F | F | F |
Da esquerda para a direita, a quantidade de repetições de cada valor cai pela metade. O mesmo procedimento funciona com mais proposições.
Exemplo resolvido com três proposições
Considere (p ∧ q) → r. O antecedente da condicional é o bloco p ∧ q. Primeiro calculamos a conjunção. Depois, usamos seu resultado como o lado esquerdo da seta.
| p | q | r | p ∧ q | (p ∧ q) → r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | F | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | V |
| F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | V |
A expressão é falsa somente na segunda linha. Nela, p ∧ q é V e r é F. Nas demais linhas, a condicional é verdadeira.
Observe o antecedente inteiro
A regra V → F deve ser aplicada ao resultado do bloco p ∧ q e ao consequente r.
5. Tautologia, contradição e contingência
Depois de preencher a tabela, observe a última coluna, correspondente à expressão completa.
| Classificação | Resultados |
|---|---|
| Tautologia | Todas as linhas são V. |
| Contradição | Todas as linhas são F. |
| Contingência | Existe pelo menos um V e pelo menos um F. |
Tautologia e contradição
p ∨ ¬p, lida como “p ou não p”, é uma tautologia. p ∧ ¬p, lida como “p e não p”, é uma contradição.
| p | ¬p | p ∨ ¬p | p ∧ ¬p |
|---|---|---|---|
| V | F | V | F |
| F | V | V | F |
Independentemente do valor de p, p ∨ ¬p é verdadeira e p ∧ ¬p é falsa.
Contingência
A expressão p ∧ q é uma contingência, pois apresenta os dois valores na coluna final.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Uma única linha verdadeira já impede a classificação como contradição. Uma única linha falsa já impede a classificação como tautologia.
A expressão (p ∧ q) → r, estudada anteriormente, também é uma contingência.
6. Erros comuns ao montar tabelas-verdade
- Contar a mesma proposição várias vezes. Em p ∧ ¬p, há uma proposição simples distinta e duas linhas.
- Trocar os valores de uma linha durante a resolução. Se uma linha começa com p = V e q = F, mantenha esses valores em todas as colunas dela.
- Ignorar os parênteses. Eles determinam quais partes devem ser calculadas juntas.
- Aplicar a condicional às letras erradas. Em (p ∧ q) → r, o antecedente é o resultado de p ∧ q.
- Classificar pela coluna intermediária. A classificação depende da coluna da expressão completa.
7. Exercícios de tabela-verdade com respostas comentadas
Questões autorais para revisar a aula. Tente resolver antes de abrir cada resposta.
Exercício 1 — Número de linhas
Quantas linhas tem a tabela-verdade de (p ∨ q) ∧ ¬p?
Ver resolução do exercício 1 Ocultar resolução do exercício 1
Quatro linhas. Existem duas proposições simples distintas, p e q. Portanto, 2² = 4. A repetição de p mantém a quantidade de variáveis.
Exercício 2 — Construção e classificação
Monte a tabela de p → ¬q e classifique a expressão.
Ver resolução do exercício 2 Ocultar resolução do exercício 2
Primeiro negamos q. Depois, calculamos a condicional.
| p | q | ¬q | p → ¬q |
|---|---|---|---|
| V | V | F | F |
| V | F | V | V |
| F | V | F | V |
| F | F | V | V |
Na primeira linha, temos V → F. Como a última coluna apresenta F e V, a expressão é uma contingência.
Exercício 3 — Condicional com antecedente composto
Monte a tabela de (p ∧ q) → p e classifique a expressão.
Ver resolução do exercício 3 Ocultar resolução do exercício 3
Primeiro calculamos p ∧ q. Depois, usamos esse resultado como antecedente da condicional.
| p | q | p ∧ q | (p ∧ q) → p |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
Quando p ∧ q é verdadeira, p também é verdadeira. Quando p ∧ q é falsa, a condicional tem antecedente falso e resulta em V. Todas as linhas são verdadeiras, portanto a expressão é uma tautologia.
Na próxima aula, você estudará a condicional em mais detalhes, incluindo condições necessárias e suficientes, recíproca, inversa e contrapositiva.
Perguntas frequentes sobre tabela-verdade
Como calcular o número de linhas de uma tabela-verdade?
Use 2n, sendo n a quantidade de proposições simples distintas. Duas proposições geram quatro linhas e três geram oito. Conte as combinações de resultados, deixando o cabeçalho fora dessa contagem.
Como preencher as colunas de uma tabela com três proposições?
Na ordem usual, p recebe quatro V e quatro F. q recebe dois V, dois F, dois V e dois F. r alterna V e F a cada linha. Assim, você registra as oito combinações uma única vez.
Em qual ordem devo resolver os conectivos na tabela-verdade?
Calcule primeiro os blocos necessários para resolver a expressão completa. Em (p ∧ q) → r, obtenha p ∧ q antes da condicional. Em ¬(p ∨ q), calcule p ∨ q antes de negar o bloco.
Qual é a diferença entre tautologia, contradição e contingência?
Observe a coluna da expressão completa. Na tautologia, todas as linhas são V. Na contradição, todas são F. Na contingência, existe pelo menos uma linha V e pelo menos uma F.
A negação e a repetição de p aumentam o número de linhas?
O total depende das proposições simples distintas. Em (p ∨ q) ∧ ¬p, existem apenas p e q, portanto são quatro linhas. O valor de ¬p é calculado a partir de p em cada linha.
