Bem-vindos a mais uma sessão de exercícios resolvidos de Progressão Aritmética (PA), um dos temas mais cobrados em concursos públicos. Nesta aula, você vai entender, de forma simples e prática, como as principais bancas — como CESGRANRIO, FGV e CEBRASPE — e provas de instituições como Banco do Brasil e Caixa costumam abordar esse conteúdo nas provas.
Para facilitar o seu aprendizado, selecionei 5 exercícios de PA resolvidos passo a passo, começando por questões mais básicas, com aplicação direta de fórmulas, e avançando até problemas que exigem interpretação de texto e raciocínio lógico, exatamente como você encontrará no dia da prova.
👉 Ao final desta aula, você estará muito mais preparado para resolver questões de progressão aritmética com segurança e agilidade, aumentando suas chances de acertar esse tema em qualquer concurso público.
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Questão 1
(Adaptado de CESGRANRIO) – Um técnico bancário planejou estudar legislação específica para um concurso. No primeiro dia, ele estudou 12 páginas. A cada dia seguinte, ele estudou 4 páginas a mais do que no dia anterior. Mantendo esse padrão, quantas páginas ele estudará no 15º dia?
a) 60
b) 64
c) 68
d) 72
RESOLUÇÃO:
Retirando os dados do problema:
No primeiro dia, ele estudou 12 páginas, então \( a_1 = 12 \)
A cada dia, ele estuda mais 4 páginas, logo a razão é \( r = 4\)
O exercício quer saber o valor de \( a_{15} \)
Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PA:
\[ a_n = a_1 + (n-1)\cdot r \]
Substituindo os valores e considerando \( n = 15\):
\[ a_{15} = 12 + (15-1)\cdot 4 \\ a_{15} = 68 \]
✅ A alternativa correta é a letra C) 68
Questão 2
(Adaptado de FGV) – Considere uma PA onde a soma do 4º termo com o 8º termo é igual a 44. Sabendo que a razão dessa progressão é 4, determine o valor do primeiro termo \( a_1 \).
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
RESOLUÇÃO:
Retirando os dados do problema:
A soma do 4º termo com o 8º termo é igual a 44, ou seja, \( a_4 + a_8 = 44\);
A razão da PA é \( r = 4\)
O exercício quer saber o valor de \( a_1 \).
Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da PA:
\( a_n = a_1 + (n-1)\cdot r \)
Calculando os termos \(a_4\) e \(a_8\) :
\( a_4 = a_1 + (4-1)\cdot 4 = a_1 + 12 \\ a_8 = a_1 + (8-1)\cdot 4 = a_1 + 28 \)
Somando:
([ 2a_1 + 40 = a_4 + a_8 \\ 2a_1 + 40 = 44 \\ 2a_1 = 4 \\ a_1 = 2\)
✅ A alternativa correta é a letra A) 2
Questão 3
(Adaptado de CEBRASPE) – A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula \( S_n = 2n^2 + 3n\). Com base nessa informação, determine o valor do 20º termo dessa sequência \(a_{20}\).
a) 77
b) 79
c) 81
d) 83
RESOLUÇÃO:
Retirando os dados do problema:
A soma dos n primeiros termos é dada por \( S_n = 2n^2 + 3n\);
O exercício quer saber o valor do \(a_{20}\).
Sabemos que, em uma PA, o termo geral pode ser obtido por:
\( a_n = S_n – S_{n-1}\)
Agora vamos calcular:
\( S_n = 2n^2 + 3n\)
Calculando \(S_{20}\):
\(S_{20} = 2(20)^2 + 3(20) \\ S_{20} = 800 + 60 = 860 \)
Calculando \(S_{19}\):
\(S_{19} = 2(19)^2 + 3(19) \\ S_{19} = 722 + 57 = 779\)
Agora:
\(a_{20} = S_{20} – S_{19} \\ a_{20} = 860 – 779 \\ a_{20} = 81 \)
✅ O valor do termo é \( a_{20} = 81 \)
Questão 4
(Adaptado de CESGRANRIO / Banco do Brasil – Analista) – Um fundo de investimento de alta liquidez registrou um erro de processamento que afetou o saldo de um correntista durante exatos 30 dias.
No 1º dia, o sistema debitou indevidamente \(\text{R\$ 10,00}\). No 2º dia, o débito foi de \(\text{R\$ 20,00}\), no 3º dia de \(\text{R\$ 30,00}\), e assim sucessivamente, aumentando o valor do débito diário em progressão aritmética até o 30º dia.
Para compensar o erro, o banco decidiu aplicar um crédito fixo diário de \(\text{R\$ 400,00}\) na conta do cliente, começando também no 1º dia e parando no 30º dia.
Considerando que o saldo inicial do cliente antes do erro era de R\$ \(\text{R\$ 1.000,00}\) e ignorando qualquer tipo de rendimento ou outros débitos no período, qual era o saldo exato da conta ao final do 30º dia?
a) \(\text{R\$ 12.000,00}\)
b) \(\text{R\$ 7.350,00}\)
c) \(\text{R\$ 10.000,00}\)
d) \(\text{R\$ 12.650,00}\)
e) \(\text{R\$ 17.350,00}\)
RESOLUÇÃO:
Retirando os dados do problema:
Os débitos diários formam uma PA com \( a_1 = 10 \) e \( r = 10 \);
O período é de \( n = 30 \) dias;
O crédito diário é fixo de \(\text{R\$ 400,00}\) durante 30 dias;
O saldo inicial é de \(\text{R\$ 10.000,00}\);
O exercício quer saber o saldo ao final do 30º dia.
Para calcular o total debitado, usamos a fórmula da soma dos termos da PA:
\( S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2} \)
Primeiro, vamos encontrar o último termo \(a_{30}\):
\(a_{30}= 10 + (30 -1)\cdot 10 \\ a_{30} = 10 + 290 \\ a_{30}= 300\)
Agora a soma dos débitos:
\\( S_{30} = \frac{(10 + 300)\cdot 10}{2} \) \\ S_{30} = 15 \cdot 310 \\ S_{30} = 4650 \)
Total debitado: \(\text{R\$ 4.650,00}\)
Agora calculando o total creditado:
\(400 \cdot 30 = 12.000\)
Total creditado: \(\text{R\$ 12.000,00}\)
Por fim, o saldo final:
\( \text{Saldo Final}= 10.000 – 4.650 + 12.000 \\ \text{Saldo Final}= 17.350 \)
✅ O saldo ao final do período é \(\text{R\$ 17.350,00}\)
Questão 5
(Adaptado de CESGRANRIO / BNDES ) – Um analista financeiro está acompanhando a amortização de uma dívida cujas parcelas mensais formam uma Progressão Aritmética. Ele não tem acesso à tabela completa, mas conseguiu recuperar dois dados isolados do sistema:
- A soma da 3ª parcela com a 7ª parcela é igual a \(\text{R\$ 1.100,00}\).
- A soma das 4 primeiras parcelas da dívida é igual a \(\text{R\$ 1.700,00}\).
Sabe-se que essa dívida será quitada em exatamente 12 meses. Com base nessas informações, qual será o valor da última parcela \(a_{12}\) a ser paga por esse cliente?
a) \(\text{R\$ 850,00}\).
b) \(\text{R\$ 900,00}\).
c) \(\text{R\$ 950,00}\).
d) \(\text{R\$ 1.000,00}\).
e) \(\text{R\$ 1.050,00}\).
RESOLUÇÃO:
Retirando os dados do problema:
A soma da 3ª com a 7ª parcela é \(a_3 + a_7 = 1100\);
A soma das 4 primeiras parcelas é \( s_4 = 1700\);
A dívida tem \(n=12\) parcelas;
O exercício quer saber o valor de \(a_{12}\).
Usando a fórmula do termo geral da PA:
\( a_n = a_1 + (n-1)\cdot r \)
Calculando os termos:
\(a_3 = a_1 + 2r \\ a_7 = a_1 + 6r\)
Somando:
\(
(a_1 + 2r) + (a_1 + 6r) = a_3 + a_7 \\
(a_1 + 2r) + (a_1 + 6r) = 1100 \\
2a_1 + 8r = 1100 \\
a_1 + 4r = 550 \rightarrow (1)
\)
Agora usando a soma dos 4 primeiros termos:
\(
S_4 = \frac{4}{2} \cdot (2a_1 + 3r) \\
1700 = 2 \cdot (2a_1 + 3r) \\
1700 = 4a_1 + 6r \\
2a_1 + 3r = 850 \rightarrow (2)
\)
Resolvendo o sistema:
\(
(1)\ a_1 + 4r = 550 \\
(2)\ 2a_1 + 3r = 850
\)
Multiplicando (1) por 2:
\( 2a_1 + 8r = 1100\)
Subtraindo (2):
\(
(2a_1 + 8r) – (2a_1 + 3r) = 1100 – 850 \\
5r = 250 \\
r = 50
\)
Substituindo em (1):
\(
a_1 + 4 \cdot 50 = 550 \\
a_1 + 200 = 550 \\
a_1 = 350
\)
Agora calculando o 12º termo:
\(
a_{12} = 350 + (12 – 1) \cdot 50 \\
a_{12} = 350 + 550 \\
a_{12} = 900
\)
✅ O valor da última parcela é R$ 900,00
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