Equivalências lógicas são expressões que apresentam os mesmos valores em todas as linhas da tabela-verdade. Elas permitem reescrever uma proposição preservando seu significado lógico.
Nesta aula de equivalências lógicas para concursos, você aprenderá a comparar expressões e aplicar dupla negação, leis de De Morgan, equivalências da condicional e da bicondicional.
Confira as regras, acompanhe os exemplos e pratique com exercícios resolvidos.
1. O que são equivalências lógicas?
Duas expressões são logicamente equivalentes quando apresentam os mesmos valores lógicos em todas as combinações possíveis das proposições simples.
Usamos o símbolo ≡ para indicar essa relação.
Isso significa que “se p, então q” tem a mesma tabela-verdade que “não p ou q”.
Como verificar pela tabela-verdade
Monte as duas expressões na mesma tabela e compare suas colunas finais.
| p | q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
As duas últimas colunas são iguais em todas as linhas. Portanto, as expressões são equivalentes.
Basta uma linha diferente para que duas expressões não sejam equivalentes.
Equivalência lógica e bicondicional
O símbolo ≡ indica que duas expressões são equivalentes. Já ↔ é o conectivo bicondicional.
Existe uma ligação entre eles. A e B são equivalentes quando A ↔ B é uma tautologia, isto é, quando essa bicondicional é verdadeira em todas as linhas.
Aqui, A e B podem representar expressões inteiras, como p → q e ¬p ∨ q.
2. Dupla negação
Negar uma proposição duas vezes devolve seu valor original.
| p | ¬p | ¬¬p |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | F |
“Não é verdade que Ana não estuda” equivale a “Ana estuda”.
A mesma regra vale para blocos inteiros.
3. Leis de De Morgan
As leis de De Morgan mostram como uma negação que afeta um bloco pode ser distribuída entre suas partes.
Negação de uma conjunção
Ao negar um bloco ligado por “e”, negamos as duas partes e trocamos o conectivo por “ou”.
“Não é verdade que Ana estuda e trabalha.”
Equivale a “Ana não estuda ou não trabalha.”
Esse “ou” é inclusivo. A frase admite que uma das atividades não ocorra ou que nenhuma das duas ocorra.
Negação de uma disjunção
Ao negar um bloco ligado por “ou”, negamos as duas partes e trocamos o conectivo por “e”.
“Não é verdade que Ana estuda ou trabalha.”
Equivale a “Ana não estuda e não trabalha.”
| Expressão original | Forma equivalente |
|---|---|
| ¬(p ∧ q) | ¬p ∨ ¬q |
| ¬(p ∨ q) | ¬p ∧ ¬q |
Observe as duas operações
A troca entre “e” e “ou” ocorre junto com a aplicação da negação às duas partes.
4. Equivalências da condicional
A condicional tem duas equivalências que você deve dominar.
Substituir a seta por “ou”
- Negue o antecedente.
- Troque a seta por ∨.
- Mantenha o consequente.
“Se o sistema está ligado, então o painel funciona.”
Equivale a “O sistema não está ligado ou o painel funciona.”
Essa equivalência foi demonstrada na tabela da seção 1.
Usar a contrapositiva
Como vimos na Aula 4, podemos trocar as posições e negar as duas partes.
“Se o sistema está ligado, então o painel funciona.”
Equivale a “Se o painel não funciona, então o sistema não está ligado.”
Como aplicar quando já existe uma negação
Considere ¬p → q. Pela equivalência da condicional, temos a transformação abaixo.
Aplicando dupla negação, obtemos a forma simplificada.
Negar ¬p produz p. Por isso, observe o antecedente inteiro antes de aplicar a regra.
5. Equivalências da bicondicional
A bicondicional p ↔ q afirma que p e q têm o mesmo valor lógico.
Duas condicionais ligadas por “e”
“O número inteiro é par se, e somente se, é divisível por 2” equivale a afirmar as duas direções.
- Se é par, então é divisível por 2.
- Se é divisível por 2, então é par.
As duas verdadeiras ou as duas falsas
Outra forma equivalente é a seguinte.
O primeiro bloco representa ambas verdadeiras. O segundo representa ambas falsas.
Também podemos eliminar as duas setas da primeira forma.
6. Leis de simplificação e reorganização
As leis abaixo permitem encurtar expressões ou reorganizá-las para facilitar a resolução.
Nesta seção, V e F, quando aparecem dentro das fórmulas, representam valores constantes, sempre verdadeiro e sempre falso.
Comutativa, associativa e distributiva
| Lei | Equivalências |
|---|---|
| Comutativa — permite trocar a ordem. | p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p |
| Associativa — permite mudar o agrupamento entre conectivos iguais. | (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) |
| Distributiva — permite distribuir uma operação sobre um bloco. | p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) |
Verifique o conectivo antes de trocar a ordem
Em particular, p → q e q → p não são equivalentes em geral.
Idempotência, identidade e dominação
| Lei | Equivalências |
|---|---|
| Idempotência | p ∧ p ≡ p p ∨ p ≡ p |
| Identidade | p ∧ V ≡ p p ∨ F ≡ p |
| Dominação | p ∧ F ≡ F p ∨ V ≡ V |
Para entender a identidade, pense nas regras dos conectivos.
- Em p ∧ V, a parte V já é verdadeira. O resultado depende de p.
- Em p ∨ F, a parte F já é falsa. O resultado também depende de p.
Na dominação, uma constante determina o resultado inteiro.
- p ∧ F é sempre falsa.
- p ∨ V é sempre verdadeira.
Complemento e absorção
| Lei | Equivalências |
|---|---|
| Complemento | p ∨ ¬p ≡ V p ∧ ¬p ≡ F |
| Absorção | p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p |
Para entender p ∨ (p ∧ q), acompanhe as duas possibilidades.
- Se p é verdadeira, a expressão já é verdadeira.
- Se p é falsa, o bloco p ∧ q também é falso, e a expressão inteira é falsa.
Portanto, o resultado acompanha exatamente o valor de p.
7. Como simplificar uma expressão passo a passo
Considere (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q).
Passo 1 — Identifique a parte repetida
A proposição p aparece nos dois blocos. Aplicando a distributiva no sentido de colocar p em evidência, obtemos a expressão abaixo.
Passo 2 — Simplifique o bloco complementar
Como q ∨ ¬q ≡ V, podemos substituir esse bloco por V.
Passo 3 — Aplique a identidade
Como p ∧ V ≡ p, chegamos ao resultado.
Cada transformação preservou o resultado da expressão em todas as linhas da tabela-verdade.
8. Como evitar erros nas equivalências lógicas
- Compare todas as linhas. Ter o mesmo resultado em uma combinação é insuficiente para estabelecer equivalência.
- Preserve os parênteses. A negação de um bloco depende de quais partes estão dentro dele.
- Ao eliminar uma condicional, negue apenas o antecedente. Em p → q, a forma equivalente é ¬p ∨ q.
- Na contraposição, faça as duas operações. Troque a ordem e negue as partes.
- Aplique as regras também a blocos inteiros. Em (p ∧ q) → r, o antecedente completo é p ∧ q.
≡ ¬(p ∧ q) ∨ r
≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ r
Na primeira transformação, usamos a equivalência da condicional. Na segunda, aplicamos De Morgan.
9. Quadro-resumo das principais equivalências lógicas
Use esta tabela para consultar as regras e revisar antes dos exercícios. Em telas pequenas, deslize os quadros e as fórmulas para os lados quando necessário.
| Regra | Expressão | Equivalente |
|---|---|---|
| Dupla negação | ¬¬p | p |
| De Morgan — conjunção | ¬(p ∧ q) | ¬p ∨ ¬q |
| De Morgan — disjunção | ¬(p ∨ q) | ¬p ∧ ¬q |
| Condicional como disjunção | p → q | ¬p ∨ q |
| Contraposição | p → q | ¬q → ¬p |
| Bicondicional em duas direções | p ↔ q | (p → q) ∧ (q → p) |
| Bicondicional por valores iguais | p ↔ q | (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) |
| Absorção | p ∨ (p ∧ q) | p |
| Absorção | p ∧ (p ∨ q) | p |
10. Exercícios de equivalências lógicas com respostas comentadas
Questões autorais para revisar a aula. Tente resolver antes de abrir o gabarito.
Exercício 1 — Condicional
Reescreva p → ¬q usando apenas negação e disjunção.
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¬p ∨ ¬q.
Negamos o antecedente p, trocamos a seta por ∨ e mantemos o consequente ¬q.
Exercício 2 — De Morgan e dupla negação
Simplifique ¬(¬p ∨ q).
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p ∧ ¬q.
Aplicamos De Morgan.
Depois, dupla negação.
Exercício 3 — Absorção
Simplifique p ∧ (p ∨ q).
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p. Pela lei de absorção, temos a equivalência abaixo.
Se p é falsa, a conjunção inteira é falsa. Se p é verdadeira, o bloco p ∨ q é verdadeiro e a conjunção inteira também é verdadeira.
Exercício 4 — Duas condicionais
Simplifique (p → q) ∧ (p → ¬q).
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¬p. Primeiro, eliminamos as duas setas.
≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
Pela distributiva, reunimos a parte repetida.
Como q ∧ ¬q ≡ F, substituímos esse bloco.
Pela identidade, chegamos ao resultado.
Exercício 5 — Equivalência de uma frase
Reescreva a afirmação abaixo usando o conectivo “ou”, preservando seu significado lógico.
“Se o servidor concluiu o curso, então recebeu o certificado.”
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“O servidor não concluiu o curso ou recebeu o certificado.”
Considere as duas proposições.
- p = “O servidor concluiu o curso.”
- q = “O servidor recebeu o certificado.”
A frase original é p → q. Aplicamos a equivalência da condicional.
Assim, negamos a primeira afirmação — “O servidor concluiu o curso” — e mantemos a segunda — “O servidor recebeu o certificado” —, ligando as duas pelo “ou” inclusivo.
Perguntas frequentes sobre equivalências lógicas
O que são equivalências lógicas?
São expressões que apresentam os mesmos valores lógicos em todas as combinações possíveis das proposições simples. Usamos ≡ para indicar essa relação. Por exemplo, p → q ≡ ¬p ∨ q.
Como saber se duas proposições são equivalentes?
Monte as duas expressões em uma mesma tabela-verdade e compare suas colunas de resultados. Elas são equivalentes quando os valores coincidem em todas as linhas. Basta uma linha diferente para que a equivalência seja falsa.
Quais são as leis de De Morgan?
As leis são ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. Ao distribuir a negação do bloco, negamos as duas partes e trocamos “e” por “ou”, ou “ou” por “e”.
Qual é a equivalência de “se p, então q”?
A condicional p → q equivale a ¬p ∨ q e à sua contrapositiva, ¬q → ¬p. Para a primeira forma, negue o antecedente e use “ou”. Para a contrapositiva, troque as posições e negue ambas as partes.
Qual é a diferença entre equivalência e negação?
Expressões equivalentes têm os mesmos valores em todas as linhas da tabela-verdade. A negação tem o valor oposto ao da expressão negada em cada linha. Por exemplo, ¬p ∨ q é equivalente a p → q, enquanto p ∧ ¬q é sua negação.
