Negar uma proposição composta é construir uma afirmação que tenha o valor lógico oposto ao da original em todas as situações. Quando a original é verdadeira, sua negação é falsa. Quando a original é falsa, sua negação é verdadeira.
Nesta aula de negação de proposições compostas para concursos, você aprenderá a negar frases com “e”, “ou”, “se… então”, “se e somente se” e “ou exclusivo”.
Também resolverá expressões com vários conectivos, respeitando os parênteses. Antes de começar, relembre os símbolos.
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| ¬ | Não |
| ∧ | E |
| ∨ | Ou inclusivo |
| → | Se… então |
| ↔ | Se e somente se |
| ⊕ | Ou exclusivo |
| ≡ | Equivalência lógica |
1. Como encontrar a negação de uma proposição?
Se uma expressão é representada por A, sua negação é ¬A.
| A | ¬A |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
A letra A pode representar uma proposição simples ou uma expressão inteira, como p ∧ q.
Para encontrar a negação, pergunte “Em quais situações a afirmação original é falsa?” Sua resposta deve incluir todas essas situações.
Por exemplo, a negação de “A nota é maior que 7” é “A nota é menor ou igual a 7”. O valor 7 também torna falsa a afirmação original e precisa ser incluído.
Cuidado com a dupla negação
Negar uma proposição que já está negada devolve a original.
Se p significa “Ana estuda”, então:
- ¬p significa “Ana não estuda”.
- ¬¬p significa “Ana estuda”.
2. Como negar uma frase com “e”?
A conjunção p ∧ q é verdadeira somente quando as duas partes são verdadeiras. Para torná-la falsa, basta que pelo menos uma das partes seja falsa.
Essa é uma das leis de De Morgan.
Exemplo resolvido
Afirmação original
“Ana estuda e trabalha.”
Negação
“Ana não estuda ou não trabalha.”
O “ou” da negação é inclusivo. A frase admite três situações:
- Ana não estuda, mas trabalha.
- Ana estuda, mas não trabalha.
- Ana não estuda nem trabalha.
Troque “e” por “ou” e negue as duas partes.
A frase “Ana não estuda e não trabalha” contempla apenas a terceira situação. Ela deixa de fora outras possibilidades que também tornam a original falsa.
3. Como negar uma frase com “ou”?
A disjunção inclusiva p ∨ q é verdadeira quando pelo menos uma das partes é verdadeira. Ela só é falsa quando as duas partes são falsas.
Essa é a outra lei de De Morgan.
Exemplo resolvido
Considere a afirmação “O sistema enviou um e-mail ou uma mensagem.”
- p = “O sistema enviou um e-mail.”
- q = “O sistema enviou uma mensagem.”
A negação é “O sistema não enviou e-mail e não enviou mensagem.”
Também podemos dizer “O sistema não enviou nem e-mail nem mensagem.”
| Para negar | Faça |
|---|---|
| p ∧ q | Negue as partes e troque “e” por “ou”. |
| p ∨ q | Negue as partes e troque “ou” por “e”. |
4. Como negar “se p, então q”?
A condicional p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa. Sua negação afirma exatamente essa situação.
- Mantenha o antecedente.
- Troque a seta por “e”.
- Negue o consequente.
Exemplo resolvido
Afirmação original
“Se Pedro foi aprovado, então recebeu o certificado.”
Negação
“Pedro foi aprovado e não recebeu o certificado.”
Negação e contrapositiva
| Operação sobre p → q | Resultado |
|---|---|
| Negação | p ∧ ¬q |
| Contrapositiva | ¬q → ¬p |
A contrapositiva preserva os valores da condicional. A negação inverte esses valores.
Assim, “Se Pedro não recebeu o certificado, então não foi aprovado” é uma equivalente da original. Para negar a original, afirmamos que Pedro foi aprovado e não recebeu o certificado.
5. Como negar “se e somente se”?
A bicondicional p ↔ q é verdadeira quando p e q têm valores iguais. Para negá-la, precisamos afirmar que os valores são diferentes.
Essa expressão é a disjunção exclusiva, representada nesta aula por p ⊕ q.
Exemplo resolvido
Afirmação original
“Ana estuda se, e somente se, trabalha.”
Negação
“Ana estuda e não trabalha, ou Ana não estuda e trabalha.”
Também podemos expressar a negação como “Ana estuda ou trabalha, mas não faz as duas coisas.”
A negação exige que exatamente uma das afirmações seja verdadeira.
6. Como negar o “ou exclusivo”?
A disjunção exclusiva p ⊕ q é verdadeira quando exatamente uma das partes é verdadeira. Sua negação ocorre quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.
Essa é a condição da bicondicional.
Exemplo resolvido
Afirmação original
“Ana estuda ou trabalha, mas não faz as duas coisas.”
Negação
“Ana estuda e trabalha, ou Ana não estuda nem trabalha.”
| p | q | p ↔ q | p ⊕ q |
|---|---|---|---|
| V | V | V | F |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | V | F |
As duas últimas colunas têm valores opostos em todas as linhas. Bicondicional e disjunção exclusiva são negações uma da outra.
7. Como negar expressões com vários conectivos?
Comece identificando o conectivo principal, a operação mais externa da expressão.
- Identifique a operação principal.
- Aplique a regra de negação dessa operação.
- Resolva as negações dos blocos internos.
- Elimine eventuais duplas negações.
Os parênteses ajudam a reconhecer o que deve ser tratado como um bloco.
Exemplo 1 — Condicional com antecedente composto
Vamos negar (p ∧ q) → r.
O conectivo principal é →. Seu antecedente inteiro é p ∧ q, e seu consequente é r.
Aplicamos a regra da negação da condicional, mantendo o antecedente e negando o consequente.
≡ (p ∧ q) ∧ ¬r
Observe que o bloco p ∧ q foi mantido.
Em português
“Se Ana estudou e revisou, então foi aprovada.”
Negação
“Ana estudou, revisou e não foi aprovada.”
Exemplo 2 — Conjunção com uma disjunção dentro
Vamos negar (p ∨ q) ∧ r. Considere:
- p = “O sistema enviou e-mail.”
- q = “O sistema enviou mensagem.”
- r = “O sistema registrou o atendimento.”
A afirmação original pode ser escrita assim:
“O sistema realizou pelo menos um destes envios — e-mail ou mensagem — e registrou o atendimento.”
O bloco p ∨ q representa os envios. O conectivo principal é ∧, que liga esse bloco ao registro do atendimento.
Primeiro, negamos a conjunção.
≡ ¬(p ∨ q) ∨ ¬r
Depois, aplicamos De Morgan ao bloco interno.
Em português, a negação é “O sistema não enviou nem e-mail nem mensagem, ou não registrou o atendimento.”
A afirmação original é falsa se o sistema não realizou nenhum dos envios ou se não registrou o atendimento. As duas falhas também podem ocorrer juntas.
Observe a estrutura da expressão
Para negar uma expressão inteira, aplique as regras à sua estrutura. Colocar “não” em cada proposição, mantendo todos os conectivos, pode produzir uma resposta incorreta.
8. Quadro-resumo da negação de proposições compostas
Em telas pequenas, deslize os quadros e as fórmulas para os lados quando necessário.
| Proposição original | Negação equivalente |
|---|---|
| p | ¬p |
| ¬p | p |
| p ∧ q | ¬p ∨ ¬q |
| p ∨ q | ¬p ∧ ¬q |
| p → q | p ∧ ¬q |
| p ↔ q | (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) |
| p ⊕ q | (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) |
Para conferir sua resposta por tabela-verdade, compare a original com a negação proposta. Os resultados precisam ser opostos em todas as linhas.
9. Exercícios de negação lógica com respostas comentadas
Questões autorais para revisar a aula. Tente resolver antes de abrir o gabarito.
Exercício 1 — Conjunção
Negue “Carla leu o edital e pagou a taxa.”
Ver resolução do exercício 1 Ocultar resolução do exercício 1
“Carla não leu o edital ou não pagou a taxa.”
Aplicamos a negação da conjunção.
Basta que uma das ações não tenha ocorrido para tornar falsa a afirmação original. A negação também admite que nenhuma delas tenha ocorrido.
Exercício 2 — Disjunção inclusiva
Negue “O candidato apresentou o RG ou a CNH.”
Considere o “ou” inclusivo.
Ver resolução do exercício 2 Ocultar resolução do exercício 2
“O candidato não apresentou o RG e não apresentou a CNH.”
Também podemos dizer “O candidato não apresentou nem o RG nem a CNH.”
Aplicamos a negação da disjunção inclusiva.
A original só é falsa quando nenhum dos documentos foi apresentado.
Exercício 3 — Condicional
Negue “Se o sistema está disponível, então o usuário consegue acessar.”
Ver resolução do exercício 3 Ocultar resolução do exercício 3
“O sistema está disponível e o usuário não consegue acessar.”
Mantemos o antecedente e negamos o consequente, unindo as partes por “e”.
Exercício 4 — Bicondicional e “ou exclusivo”
Escreva a negação de cada expressão.
a) p ↔ q
b) p ⊕ q
Ver resolução do exercício 4 Ocultar resolução do exercício 4
a) A bicondicional é falsa quando os valores são diferentes.
b) O “ou exclusivo” é falso quando os valores são iguais.
Exercício 5 — Mais de um conectivo
Simplifique as negações.
a) ¬[p → (q ∨ r)]
b) ¬[(p ∧ ¬q) ∨ r]
Ver resolução do exercício 5 Ocultar resolução do exercício 5
a) O conectivo principal é a condicional. Mantemos p e negamos o bloco q ∨ r.
≡ p ∧ ¬(q ∨ r)
Aplicamos De Morgan ao bloco interno.
Resultado
b) O conectivo principal é a disjunção. Negamos os dois blocos e usamos “e”.
≡ ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬r
Aplicamos De Morgan ao primeiro bloco.
Eliminamos a dupla negação.
Perguntas frequentes sobre negação de proposições compostas
Como negar uma proposição composta?
Identifique o conectivo principal e aplique a regra correspondente. Depois, resolva as negações dos blocos internos e elimine duplas negações. A resposta deve ter valor lógico oposto ao da original em todas as combinações possíveis.
Como negar frases com “e” e com “ou”?
Pelas leis de De Morgan, ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. Negamos as duas partes e trocamos “e” por “ou” inclusivo, ou “ou” inclusivo por “e”.
Qual é a negação de “se p, então q”?
É p ∧ ¬q. Mantemos o antecedente e negamos o consequente, unindo as partes por “e”. A negação de “Se Pedro foi aprovado, então recebeu o certificado” é “Pedro foi aprovado e não recebeu o certificado”.
Como negar a bicondicional e o “ou exclusivo”?
A negação de p ↔ q é p ⊕ q, pois exige valores diferentes. A negação de p ⊕ q é p ↔ q, pois exige valores iguais. Bicondicional e disjunção exclusiva são negações uma da outra.
Qual é a diferença entre negação e contrapositiva?
A negação de p → q é p ∧ ¬q e inverte seu valor em cada linha. A contrapositiva é ¬q → ¬p e preserva os valores da condicional, sendo equivalente à original.
