Aprenda a resolver exercícios de Progressão Geométrica (PG) para concursos públicos com explicações claras e resoluções passo a passo. Nesta página, você encontrará questões de nível fácil para compreender os fundamentos, identificar a razão, calcular termos e reconhecer o comportamento de uma sequência.
Cada exercício apresenta as fórmulas de PG utilizadas, a interpretação do enunciado e o desenvolvimento dos cálculos. Além de conferir o gabarito, você entenderá por que cada fórmula foi escolhida e como evitar erros comuns, como confundir PA com PG ou contar incorretamente a posição de um termo.
Esta página será ampliada continuamente com novos exercícios resolvidos e comentados de PG, oferecendo mais oportunidades para praticar e fortalecer sua base em Matemática. Nosso objetivo é ajudar você a estudar com mais clareza, desenvolver autonomia na resolução das questões e avançar na preparação para a aprovação em um concurso público.
Tente resolver cada questão antes de abrir a resposta. Depois, compare seu raciocínio com a resolução e revise os pontos em que encontrou dificuldade.
Questão 1 — Identificação da razão
Resolução
Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior por um mesmo número, chamado razão. Para descobri-la, dividimos um termo pelo seu antecessor:
Usando os dois primeiros termos:
Podemos conferir com os demais:
Portanto, cada termo é quatro vezes o anterior.
Usamos a relação entre termos consecutivos:
Como o último termo apresentado é 192:
Na PG, a razão é encontrada pela divisão entre termos consecutivos; na PA, pela subtração.
Questão 2 — Cálculo de um termo
Resolução
Como a quantidade dobra diariamente, temos uma PG:
A questão pede a quantidade no sexto dia, portanto devemos calcular um termo específico, e não a soma das quantidades.
A fórmula é:
O expoente \(n-1\) representa a quantidade de multiplicações necessárias para sair do primeiro termo e chegar ao termo desejado.
Do primeiro ao sexto dia, acontecem cinco duplicações:
Conferência:
“No sexto dia” pede \(a_6\). Já “ao todo nos seis dias” pediria a soma \(S_6\).
Questão 3 — Descoberta de um termo desconhecido
Resolução
Como os termos são consecutivos de uma PG, a razão entre o segundo e o primeiro deve ser igual à razão entre o terceiro e o segundo:
Multiplicando ambos os lados por \(4x\):
A equação admite \(x=12\) e \(x=-12\). Entretanto, o enunciado informa que os termos são positivos. Portanto:
Para três termos consecutivos \((a,\ b,\ c)\) de uma PG:
Ou seja, o quadrado do termo central é igual ao produto dos termos das pontas. Se os termos forem positivos, podemos escrever:
Conferência:
A razão é 3, pois \(12\div4=3\) e \(36\div12=3\).
Questão 4 — PG decrescente
Resolução
Se a bomba retira metade da água, a outra metade permanece. Portanto, a cada hora, o volume é multiplicado por:
Como o volume inicial é positivo e \(0<q<1\), a PG é decrescente.
O volume inicial já é o primeiro termo:
| Momento | Termo | Volume |
|---|---|---|
| Início — 0 horas | \(a_1\) | 160 L |
| Após 1 hora | \(a_2\) | 80 L |
| Após 2 horas | \(a_3\) | 40 L |
| Após 3 horas | \(a_4\) | 20 L |
| Após 4 horas | \(a_5\) | 10 L |
Assim, precisamos calcular \(a_5\): são cinco valores contando o inicial, mas apenas quatro reduções.
Substituindo:
Quando o valor inicial corresponde ao instante zero e é chamado de \(a_1\), após quatro períodos chegamos a \(a_5\). Conte as mudanças realizadas para evitar erros no índice.
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Como encontrar a razão de uma PG?
Divida um termo pelo anterior, desde que o termo do denominador seja diferente de zero.
Na sequência \( (3, 12, 48, 192, \ldots) \), temos \( q = 12 \div 3 = 4 \). Para encontrar o próximo termo, multiplique o último pela razão: \( 192 \times 4 = 768 \).
Qual é a diferença entre PA e PG?
Na PA, somamos um mesmo valor a cada etapa. Na PG, multiplicamos por um mesmo fator.
PA: \( (3, 7, 11, 15, \ldots) \) — somamos 4.
PG: \( (3, 12, 48, 192, \ldots) \) — multiplicamos por 4.
Na prova, confira se o padrão está na diferença ou na divisão entre termos consecutivos.
Quando usar o termo geral em vez da soma?
Use o termo geral quando a questão pedir um valor em uma posição específica, como a quantidade de pessoas no sexto dia.
Se o primeiro dia tem 5 pessoas e a quantidade dobra diariamente, \( a_6 = 5 \cdot 2^5 = 160 \). Já a expressão “ao todo nos seis dias” pede a soma dos termos.
Por que o expoente do termo geral é n − 1?
Porque o primeiro termo já está dado. Para chegar ao segundo, multiplicamos pela razão uma vez; para chegar ao terceiro, duas vezes.
Assim, do primeiro ao sexto termo, são cinco multiplicações. Por isso, usamos \( q^{6-1} = q^5 \), e não \( q^6 \).
Como descobrir o termo do meio em uma PG?
Na sequência \( (4, x, 36) \), usamos a propriedade dos três termos consecutivos. Em uma PG, o quadrado do termo central é igual ao produto das pontas.
A equação admite \( x = 12 \) e \( x = -12 \). Como o exercício informa que os termos são positivos, a resposta é \( x = 12 \).
Sem essa condição, as duas possibilidades formariam PGs: \( (4, 12, 36) \), com \( q = 3 \), e \( (4, -12, 36) \), com \( q = -3 \).
Após quatro horas, devo calcular a₄ ou a₅?
Se o volume inicial, no instante zero, é chamado de \( a_1 \), após quatro horas devemos calcular \( a_5 \). O valor inicial conta como termo, mas ainda não passou por nenhuma redução.
No exercício do reservatório, o volume cai pela metade a cada hora:
São cinco valores e quatro reduções. Portanto, \( a_5 = 160 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 10 \) litros.
