Pratique exercícios de Progressão Geométrica (PG) de nível médio para concursos públicos, com temas frequentes em provas de bancas como Cesgranrio, FGV, Cebraspe, FCC e Vunesp.
Todos os exercícios têm resolução passo a passo, com fórmulas e explicações de cada escolha. Esta página será atualizada com frequência, trazendo mais questões resolvidas para ampliar seus estudos e sua preparação.
Questão 1 — Razão e primeiro termo
Resolução passo a passo
Em uma PG, cada avanço de uma posição multiplica o termo pela razão, representada por \(q\). A relação entre dois termos é:
Do segundo ao quinto termo, avançamos três posições, pois \(5-2=3\). Assim:
Substituindo os valores do enunciado:
Dividimos ambos os lados por 12:
Extraímos a raiz cúbica. Como \(3^3=27\):
Pela fórmula do termo geral:
Para o segundo termo, \(n=2\), temos:
Isolando o primeiro termo e substituindo os valores:
Conferência
Multiplicando cada termo por 3, obtemos:
O segundo termo é 12 e o quinto é 324, como informa o enunciado.
Quando dois termos são conhecidos, conte a distância entre suas posições. Isso permite encontrar a razão sem precisar descobrir primeiro \(a_1\).
Questão 2 — Posição de um termo
Resolução passo a passo
O primeiro termo apresentado é:
Para encontrar a razão, dividimos um termo pelo anterior:
A fórmula que relaciona o valor de um termo à sua posição é:
Conhecemos o valor do termo e queremos descobrir sua posição \(n\):
Dividindo ambos os lados por 5:
Podemos reconhecer a potência ou construir os valores por multiplicações sucessivas:
Portanto:
Como as potências têm a mesma base positiva e diferente de 1, igualamos os expoentes:
Conferência
Contando os termos, confirmamos que 3.645 ocupa a sétima posição.
O expoente encontrado representa \(n-1\), e não \(n\). Depois de encontrar o expoente 6, some 1 para obter a posição 7.
Questão 3 — Soma em uma situação de crescimento
Resolução passo a passo
Um aumento de 50% significa manter o valor anterior e acrescentar metade dele. Para um aumento percentual de \(p\), o fator multiplicativo é:
Logo, os dados são:
A expressão “ao todo nesses quatro meses” pede a soma \(S_4\), e não apenas a produção do quarto mês. Para uma PG com \(q\neq1\), usamos:
Substituindo os valores:
Calculamos a potência:
Agora efetuamos as subtrações e a multiplicação:
Como são apenas quatro meses, também podemos calcular cada produção pela relação entre termos consecutivos e depois somar:
Multiplicar por 1,5 equivale a acrescentar metade do valor anterior:
| Mês | Cálculo | Produção |
|---|---|---|
| 1º | Valor inicial | 40 peças |
| 2º | 40 + 20 = 60 | 60 peças |
| 3º | 60 + 30 = 90 | 90 peças |
| 4º | 90 + 45 = 135 | 135 peças |
| Total nos quatro meses | 325 peças | |
Pela definição de soma dos primeiros termos:
Aumentar 50% corresponde a multiplicar por 1,5. O fator 0,5 representa apenas o acréscimo. Quando há poucos termos, calcular a sequência pode ser mais rápido que aplicar a fórmula da soma.
Questão 4 — Soma de uma PG infinita
Resolução passo a passo
Como os termos conhecidos são consecutivos, dividimos o terceiro pelo segundo:
Cada termo é metade do anterior.
A fórmula do termo geral é:
Para o segundo termo:
Isolando o primeiro termo:
Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo seu inverso:
Uma PG com primeiro termo não nulo tem uma soma infinita finita quando:
Nesta questão:
A condição é atendida. Os termos diminuem e se aproximam de zero:
Substituindo o primeiro termo e a razão:
Conferência
A soma dos primeiros \(n\) termos também pode ser escrita como:
Quando \(n\) cresce indefinidamente, \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) tende a zero. Assim, as somas parciais se aproximam de 48.
Antes de usar a fórmula, confira se \(|q|<1\). O numerador deve ser o primeiro termo: nesta questão, é 24, e não 12.
Questão 5 — PG com razão negativa
Resolução passo a passo
Do terceiro ao sexto termo, avançamos três posições. Usamos a relação:
Substituindo os valores e dividindo ambos os lados por 12:
Como \((-2)^3=-8\), extraímos a raiz cúbica:
A razão negativa faz os sinais dos termos alternarem.
Pelo termo geral:
Para o terceiro termo:
Substituindo os dados:
Como \((-2)^2=4\):
A fórmula da soma finita também vale para razões negativas, desde que \(q\neq1\):
Substituindo \(a_1=3\), \(q=-2\) e \(n=6\):
Como o expoente 6 é par, a potência é positiva:
Calculamos o numerador e o denominador:
Multiplicando cada termo por −2, obtemos:
O terceiro termo é 12 e o sexto é −96. Pela definição de soma:
Agrupando os termos em pares:
Use parênteses ao elevar uma razão negativa. Uma potência de base negativa fica positiva quando o expoente é par e negativa quando ele é ímpar.
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Como encontrar a razão quando os termos não são consecutivos?
Use a relação entre dois termos de uma PG. O expoente da razão corresponde à diferença entre suas posições:
Na questão 1, temos \(a_2=12\) e \(a_5=324\). Do segundo ao quinto termo, são três avanços:
Dividir 324 por 12 fornece \(q^3\), e não diretamente \(q\). Depois da divisão, é preciso extrair a raiz cúbica.
Como descobrir o primeiro termo a partir de outro termo?
Comece pelo termo geral e isole o primeiro termo:
Na questão 1, conhecemos \(a_2=12\) e \(q=3\):
Na questão 4, \(a_2=12\) e \(q=\frac12\):
Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo seu inverso.
Como encontrar a posição de um termo em uma PG?
Substitua o valor do termo na fórmula do termo geral e descubra o expoente:
Na questão 2, \(a_1=5\), \(q=15\div5=3\) e \(a_n=3645\):
O número 3.645 é o sétimo termo. O expoente é \(n-1\) porque o primeiro termo já está dado: para chegar ao sétimo, multiplicamos pela razão seis vezes.
Por que um aumento de 50% corresponde à razão 1,5?
Um aumento de 50% mantém 100% do valor anterior e acrescenta mais 50%. O novo valor representa 150% do anterior. Para um aumento percentual de \(p\):
Na questão 3, a produção passa de 40 para 60 peças:
Multiplicar por 0,5 calcula apenas o acréscimo de 20 peças. A nova produção é \(40+20=60\). Repetindo o fator 1,5, obtemos \((40,\ 60,\ 90,\ 135)\).
Quando usar a soma dos termos em vez do termo geral?
Use o termo geral para descobrir o valor de uma posição específica. Use a soma quando o enunciado pedir “ao todo”, “total” ou “acumulado” em várias etapas.
Na questão 3, a produção do quarto mês é:
Mas a questão pede o total produzido nos quatro meses. Para \(q\neq1\):
Com poucos termos, também é possível somar diretamente:
Portanto, a resposta é 325 peças, e não 135. Se \(q=1\), todos os termos são iguais e usamos \(S_n=n\cdot a_1\).
Quando uma PG infinita tem uma soma finita?
Para uma PG com primeiro termo não nulo, a soma infinita converge quando o módulo da razão é menor que 1:
Essa condição equivale a \(-1<q<1\) e permite aplicar:
Na questão 4, \(q=a_3/a_2=6/12=\frac12\) e \(a_1=24\). Como \(\left|\frac12\right|<1\):
Os termos \((24,\ 12,\ 6,\ 3,\ldots)\) se aproximam de zero, e as somas parciais se aproximam de 48. No numerador, use o primeiro termo, e não o segundo.
Como calcular a razão e a soma quando a razão é negativa?
A razão negativa faz os sinais dos termos não nulos alternarem. Na questão 5, \(a_3=12\) e \(a_6=-96\):
Pelo termo geral, encontramos o primeiro termo:
A fórmula da soma finita também vale para razões negativas, desde que \(q\neq1\):
Conferindo pelos termos:
Use parênteses na base negativa: \((-2)^6=64\), pois o expoente é par. Com expoente ímpar, a potência de base negativa é negativa.
