Exercícios difíceis de PG: aprofunde sua preparação para concursos
Dominar o termo geral é um passo importante, mas resolver exercícios difíceis de Progressão Geométrica (PG) exige ir além da aplicação direta de uma fórmula. Nesta página, você encontrará questões resolvidas passo a passo para treinar a interpretação do enunciado, relacionar informações e escolher um caminho eficiente até a resposta.
Esse estudo ajuda a fortalecer sua preparação em Matemática e Raciocínio Lógico para concursos organizados por bancas como FGV, CESGRANRIO, CEBRASPE (antigo CESPE), FCC e VUNESP. Os exercícios desta seleção são de treinamento e permitem praticar habilidades úteis na resolução de problemas: reconhecer padrões, combinar propriedades e conferir se o resultado atende às condições do enunciado.
Além de razão, termo geral e somas finitas e infinitas de PG, as questões abordam outros conceitos que podem aparecer em sua prova: equações do segundo grau, fatoração, potências, operações com frações, perímetros e áreas de quadrados e Progressão Aritmética (PA). Você também aprenderá a trabalhar com uma PG formada pelos quadrados dos termos de outra sequência e a conectar propriedades de PA e PG em um mesmo problema.
Estudar essas conexões ajuda a identificar qual ferramenta usar e a evitar erros, como confundir a soma dos quadrados com o quadrado da soma ou aplicar às áreas a mesma razão dos lados. Cada resolução explica as fórmulas utilizadas, o raciocínio de cada etapa e uma dica de prova, para que você compreenda o método e consiga aplicá-lo em novas questões.
Este conteúdo continuará sendo atualizado com mais exercícios resolvidos de PG de nível difícil, ampliando as situações de prática e as conexões com outros temas. Volte à página para acompanhar as novidades e continuar avançando na sua preparação.
Questão 1 — Relações entre somas de termos
Em uma progressão geométrica de termos positivos, sabe-se que:
Determine a soma dos seis primeiros termos dessa PG.
Resolução passo a passo
Em uma PG, cada termo é o anterior multiplicado pela razão:
Os termos da segunda soma estão uma posição à frente dos termos da primeira:
Somando e substituindo os valores fornecidos:
Usamos o termo geral da PG:
Como q = 3:
Substituindo na primeira soma:
Para uma PG com q ≠ 1, a soma finita é:
Aplicando os valores:
Conferência
A sequência começa com:
Temos 6 + 54 = 60, 18 + 162 = 180 e a soma dos seis termos é 728.
Quando todos os termos de uma soma avançam uma posição, a soma inteira é multiplicada por q. Se avançarem duas posições, será multiplicada por q².
Questão 2 — Soma e produto de termos consecutivos
Três números positivos, escritos em ordem crescente, formam uma progressão geométrica. A soma desses números é igual a 21, e o produto é igual a 216.
Determine os três números e a razão da PG.
Resolução passo a passo
Chamando o termo central de b, podemos escrever:
Dividir por q volta uma posição; multiplicar por q avança uma posição.
O produto é 216:
Os fatores q se cancelam:
Como 6³ = 216:
Portanto, os termos são:
Dividimos toda a equação por 3:
Multiplicamos por q para eliminar o denominador:
Reorganizando e fatorando:
Como os termos são positivos e estão em ordem crescente, precisamos de q > 1. Assim:
Conferência
O produto de três termos consecutivos de uma PG é o cubo do termo central. Se o enunciado fornecer esse produto, começar pelo termo central costuma simplificar a resolução.
Questão 3 — Duas somas infinitas
Uma progressão geométrica infinita tem primeiro termo positivo e razão q, com 0 < q < 1.
A soma de todos os seus termos é igual a 12. A soma dos quadrados de todos os seus termos é igual a 48, ou seja:
Determine o primeiro termo e a razão da progressão original.
Resolução passo a passo
Para |q| < 1, usamos a fórmula da soma infinita:
Como a soma é 12:
Isolando o primeiro termo:
A sequência original é:
Elevando cada termo ao quadrado:
A nova sequência também é uma PG, com primeiro termo a1² e razão q². Sua soma é:
Substituímos a1 = 12(1 − q):
Usamos a fatoração da diferença de quadrados:
Como q < 1, o fator (1 − q) não é zero. Podemos cancelar um desses fatores:
Dividindo por 48:
Multiplicando por (1 + q):
Conferência
A soma da PG original é:
A soma dos quadrados é:
A soma dos quadrados não é o quadrado da soma. Monte uma nova PG: seu primeiro termo será a1², e sua razão será q².
Questão 4 — PG aplicada à geometria
Uma sequência infinita de quadrados é construída de modo que o primeiro tenha lado de 8 cm e o lado de cada quadrado seguinte seja metade do lado do anterior.
Determine:
a) A soma dos perímetros de todos os quadrados.
b) A soma das áreas de todos os quadrados.
Considere a soma das medidas de cada quadrado, independentemente de como eles estejam posicionados.
Resolução passo a passo
Os lados formam a PG:
A razão dos lados é 1/2, mas precisamos verificar como perímetros e áreas variam.
O perímetro de um quadrado de lado L é:
Assim, os perímetros são:
Essa PG tem primeiro termo 32 e razão 1/2. Como a razão tem módulo menor que 1, usamos:
Logo:
A área de um quadrado é:
Portanto, as áreas são:
A razão é:
Isso acontece porque reduzir o lado à metade reduz a área à quarta parte:
Respostas: a soma dos perímetros é 64 cm; a soma das áreas é 256/3 cm², aproximadamente 85,33 cm².
Se os lados variam com razão q, os perímetros variam com razão q, mas as áreas variam com razão q².
Questão 5 — Conexão entre PA e PG
Três números formam, nessa ordem, uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a 24.
Ao acrescentar 4 apenas ao terceiro número, os três valores resultantes passam a formar uma progressão geométrica, mantendo a mesma ordem.
Determine os termos da PA original e a razão da PG obtida.
Resolução passo a passo
Três termos consecutivos de uma PA podem ser escritos como:
Nessa representação, x é o termo central e r é a razão da PA. A soma é 24:
Os termos −r e +r se cancelam:
Portanto, a PA é:
Acrescentando 4 somente ao terceiro termo:
Esses três valores formam uma PG.
Em uma PG de três termos (a, b, c):
Ou seja, o quadrado do termo central é igual ao produto dos extremos. Aplicando:
Desenvolvendo:
Reorganizando:
Fatorando:
Como a PA é crescente, sua razão deve ser positiva:
A PA original é:
Após acrescentar 4 ao terceiro termo, obtemos:
A razão da PG é:
Conferência
A PA tem diferenças constantes:
E a nova sequência tem razões constantes:
Use (x − r, x, x + r) quando houver três termos de uma PA e uma informação sobre a soma. Se eles forem transformados em uma PG, aplique “meio² = produto dos extremos”.
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Como encontrar a razão comparando duas somas de termos?
Quando todos os termos avançam uma posição na PG, a soma inteira é multiplicada pela razão q. Na questão 1:
Assim, 180 = 60q e q = 3. Se o avanço fosse de duas posições, o fator seria q².
Como usar o produto de três termos consecutivos de uma PG?
Representando os termos por (b/q, b, bq), o produto é b³: os fatores q se cancelam. Na questão 2, b³ = 216, então o termo central é 6.
Depois, use a soma para encontrar q. Como os termos são positivos e estão em ordem crescente, escolha a solução com q > 1.
O que acontece com a razão quando os termos são elevados ao quadrado?
A nova PG tem primeiro termo a1² e razão q². Na questão 3, isso permite calcular a soma dos quadrados usando uma nova soma infinita, com |q| < 1:
A mesma ideia aparece nas áreas da questão 4: lados com razão 1/2 geram áreas com razão 1/4. Atenção: a soma dos quadrados não é o quadrado da soma.
Como conectar PA e PG em uma mesma questão?
Para três termos de uma PA, use (x − r, x, x + r). A soma é 3x, o que facilita encontrar o termo central.
Após a alteração indicada no enunciado, aplique à nova PG a propriedade b² = a · c. Na questão 5, considere também que a PA é crescente: sua razão precisa ser positiva.
