Pratique exercícios autorais de Progressão Geométrica (PG) no estilo FGV, com resolução passo a passo para concursos públicos. A proposta é desenvolver a compreensão das fórmulas e a escolha do raciocínio adequado em cada problema.
A seleção de conceitos foi orientada por uma análise realizada em 2026, com uma amostra de questões de provas da FGV aplicadas entre 2022 e 2024. Nesse recorte, foram observados o reconhecimento da PG e de sua razão, o crescimento percentual, o termo geral e as relações entre termos, a soma finita e as propriedades dos termos equidistantes, além de uma aplicação em juros compostos. A análise identifica formas de cobrança nessa amostra; não representa um levantamento de todas as provas nem inclui provas de 2025 e 2026.
As questões desta página são autorais: não são questões reais já cobradas pela FGV. Foram elaboradas para praticar conceitos e estratégias de resolução observados nas provas analisadas. A expressão “no estilo FGV” indica a proposta de treinamento, sem atribuir à banca a autoria ou a aprovação destes exercícios.
Nas resoluções, você encontrará fórmulas, explicações de cada etapa e dicas para evitar erros. Use os comentários para entender como identificar os dados, relacionar os termos e conferir o resultado.
Estas questões foram criadas para praticar conceitos observados em uma amostra de provas da FGV de 2022 a 2024, analisada em 2026. Não são questões reais da banca. Os perfis de concurso indicados são sugestões didáticas de aplicação, não uma garantia de cobrança em edital. Tente resolver antes de abrir o gabarito.
Questão 1 — Atendimento em uma agência bancária
Uma agência implantou uma campanha para incentivar seus clientes a utilizar os canais digitais. Na primeira semana, foram realizados 250 atendimentos por esses canais. Nas semanas seguintes, a quantidade de atendimentos aumentou sempre 20% em relação à semana imediatamente anterior.
Para analisar a campanha, um funcionário organizou as quantidades semanais em uma sequência numérica.
Mantido esse comportamento, a sequência corresponde a uma:
Resolução passo a passo
A cada semana, permanece a quantidade da semana anterior e acrescentam-se 20% dela. Representando a quantidade anterior por \(A\):
Portanto, o fator multiplicativo é 1,20. O número 0,20 representa apenas a parcela de aumento.
Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior pela mesma razão:
Comparando com a relação encontrada:
A sequência é uma progressão geométrica, correspondente à alternativa D.
Os aumentos são 50 e 60 atendimentos, respectivamente. Como as diferenças mudam, essa sequência não é uma PA. Já os quocientes permanecem iguais:
Para um aumento de p%, use o fator 1 + p/100. Para uma redução de p%, use 1 − p/100.
Situações de atendimento, vendas e adesão a serviços permitem avaliar se o candidato distingue aumento percentual de aumento absoluto. Na amostra analisada, a FGV cobrou a identificação de PG a partir de crescimento percentual na EPE, em 2022. Aqui, a mesma habilidade é praticada em um contexto bancário autoral.
Questão 2 — Digitalização de documentos
Uma prefeitura iniciou a digitalização de documentos antigos. Durante a fase de implantação, a quantidade de documentos digitalizados a cada dia formou uma progressão geométrica de razão positiva, pois a equipe ampliava sua capacidade de trabalho por um mesmo fator diário.
No terceiro dia, foram digitalizados 80 documentos. No sexto dia, foram digitalizados 640 documentos.
Se esse padrão foi mantido até o oitavo dia, quantos documentos foram digitalizados somente no oitavo dia?
Resolução passo a passo
Queremos encontrar \(a_8\), a quantidade do oitavo dia. Não é necessário calcular o primeiro termo. Podemos relacionar diretamente dois termos:
Do terceiro ao sexto dia, ocorrem três avanços, pois 6 − 3 = 3:
Assim, a quantidade digitalizada dobra a cada dia.
Do sexto ao oitavo dia, são dois avanços:
Resposta: alternativa C, 2.560 documentos.
Partindo do terceiro dia, as quantidades são:
Esses valores correspondem, respectivamente, aos dias 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
O expoente é a diferença entre as posições. Não use 6 no expoente ao relacionar o terceiro e o sexto termos: entre eles há três multiplicações.
Essa estrutura avalia a leitura dos índices e a capacidade de relacionar informações sem construir toda a sequência. Na prova de Professor C de Matemática de Macaé, em 2024, a FGV utilizou relações entre termos afastados. O contexto de digitalização adapta a habilidade a uma situação administrativa; não representa uma questão real desse cargo.
Questão 3 — Distribuição de materiais
Uma secretaria de educação organizou a entrega de caixas de material escolar durante seis dias consecutivos. No primeiro dia, entregou 3 caixas. Para acompanhar a chegada de novos materiais ao depósito, decidiu que, a partir do segundo dia, entregaria o dobro da quantidade entregue no dia anterior.
Todas as entregas previstas foram realizadas, sem perdas ou devoluções.
Ao término do sexto dia, qual foi o total de caixas entregues ao longo dos seis dias?
Resolução passo a passo
A primeira entrega contém 3 caixas; dobrar a quantidade significa multiplicar por 2:
A expressão “total ao longo dos seis dias” pede a soma \(S_6\), e não o sexto termo isolado.
Para uma PG de razão diferente de 1:
Substituímos os dados:
Resposta: alternativa C, 189 caixas.
O valor 96, da alternativa A, é a entrega somente do sexto dia. Ele não corresponde ao total acumulado.
Sublinhe palavras como “total”, “ao todo” e “acumulado”. Elas ajudam a distinguir a soma dos termos do valor de um termo específico.
Problemas de distribuição e produção avaliam se o candidato sabe calcular um acumulado e interpretar o período considerado. A soma finita também apareceu na amostra da FGV, na prova de Matemática de Vitória, em 2024, embora com outra estrutura. Este exercício autoral reforça a base necessária para resolver cobranças desse conceito.
Questão 4 — Planejamento de uma atividade
Uma professora preparou uma atividade sobre sequências numéricas utilizando oito cartões numerados de 1 a 8. Cada cartão recebeu um valor, e os valores, na ordem dos cartões, formavam uma progressão geométrica de termos positivos.
Antes da aula, a professora percebeu que o valor escrito no quinto cartão havia sido apagado. Ela ainda conseguia ler que o segundo cartão apresentava o valor 8 e o oitavo cartão apresentava o valor 512.
Para preservar a sequência planejada, qual valor deverá ser escrito no quinto cartão?
Resolução passo a passo
O quinto termo fica exatamente no meio dos termos conhecidos:
Portanto, o segundo e o oitavo termos estão à mesma distância do quinto.
Em uma PG, o quadrado de um termo central é igual ao produto de dois termos equidistantes dele:
Com \(k=5\) e \(d=3\):
Escolhemos a raiz positiva porque o enunciado informa que todos os termos são positivos. Resposta: alternativa B.
Do segundo ao quinto termo, multiplicamos por \(q^3\); do quinto ao oitavo, multiplicamos novamente por \(q^3\):
Como os termos são positivos, podemos dividir por eles e igualar os quocientes:
Multiplicando em cruz, obtemos \(a_5^2=a_2a_8\).
A razão é positiva, pois os termos são positivos; logo, \(q=2\). Assim:
Confira os índices antes de usar a propriedade. O termo central precisa estar à mesma distância dos dois termos conhecidos.
Questões desse tipo avaliam o domínio das propriedades da PG e a escolha de um caminho mais eficiente que um sistema de equações. Na prova de Professor 2 de Matemática de Jaboatão dos Guararapes, em 2023, a FGV apresentou termos com posições que permitiam esse raciocínio. Este exercício autoral trabalha a mesma habilidade com números mais simples.
Questão 5 — Evolução de um investimento
Durante uma atividade de educação financeira, um funcionário apresentou uma simulação de investimento: um capital de R$ 2.000,00 seria aplicado por três meses, com rendimento de 10% ao mês no regime de juros compostos.
Na simulação, os rendimentos permanecem aplicados, não há novos depósitos nem retiradas e são desconsiderados impostos e tarifas.
Ao final dos três meses, qual será o rendimento total, isto é, a diferença entre o montante final e o capital inicialmente aplicado?
Resolução passo a passo
Como o rendimento permanece aplicado, cada novo mês rende sobre o saldo do mês anterior. Um aumento de 10% corresponde ao fator:
Os saldos formam uma PG. Vamos considerar o capital inicial, no mês zero, como o primeiro termo:
O primeiro termo é o saldo antes de render. Depois de um mês, temos o segundo termo; depois de dois meses, o terceiro; depois de três meses, o quarto termo.
| Momento | Termo | Saldo |
|---|---|---|
| Aplicação inicial — mês 0 | Primeiro | R$ 2.000,00 |
| Após 1 mês | Segundo | R$ 2.200,00 |
| Após 2 meses | Terceiro | R$ 2.420,00 |
| Após 3 meses | Quarto | R$ 2.662,00 |
Há três multiplicações entre o capital inicial e o saldo final.
Calculando a potência:
Esse resultado é o montante final, que inclui os R$ 2.000,00 inicialmente aplicados.
A questão pede a diferença entre o saldo final e o capital inicial:
Resposta: alternativa D, R$ 662,00. A alternativa E apresenta o montante, não o rendimento.
O exercício também pode ser resolvido pela fórmula de juros compostos:
Nessa fórmula, \(M\) é o montante; \(C\), o capital inicial; \(i\), a taxa por período em forma decimal; e \(t\), o número de períodos.
O objetivo aqui, porém, era resolver por Progressão Geométrica. As fórmulas representam a mesma evolução: \(a_1=C\), \(q=1+i\) e \(n-1=t\). Com três meses e o capital inicial como primeiro termo, usamos \(n=4\).
Não some os saldos dos meses: isso contaria o mesmo dinheiro várias vezes. Para encontrar o rendimento total, calcule o saldo final menos o capital inicial. Somar 10% três vezes também não representa o regime composto.
Essa aplicação avalia crescimento multiplicativo, contagem dos períodos e distinção entre capital, montante e rendimento, habilidades relevantes para situações financeiras. Na prova de Matemática de Vitória, em 2024, a FGV cobrou rendimento acumulado em juros compostos. Este exercício autoral usa a situação para mostrar a conexão entre Matemática Financeira e PG.
Questão 6 — Planejamento de distribuição de materiais
Uma secretaria municipal de educação organizou a distribuição de kits escolares em seis etapas consecutivas, destinadas a diferentes grupos de escolas. Para acompanhar a ampliação da capacidade de transporte, o planejamento estabeleceu que a quantidade de kits de cada etapa seria obtida multiplicando a quantidade da etapa anterior por uma mesma razão positiva, maior que 1.
Ao conferir o relatório, uma servidora verificou que haviam sido distribuídos 1.820 kits ao longo das seis etapas. Ela também constatou que a quantidade total distribuída nas três últimas etapas correspondia a 27 vezes a quantidade total distribuída nas três primeiras.
Após a conclusão das entregas, a secretaria decidiu preparar uma reserva adicional para possíveis novas matrículas. Essa reserva deverá conter uma quantidade de kits equivalente a 20% da quantidade distribuída somente na sexta etapa, sem alterar os números registrados nas entregas anteriores.
Considerando que o planejamento foi cumprido integralmente, quantos kits deverão compor essa reserva adicional?
Resolução passo a passo
As seis quantidades formam uma PG de razão \(q>1\). O total distribuído é:
Chamando a soma das três primeiras etapas de \(B_1\) e a soma das três últimas de \(B_2\):
A reserva pedida é 20% do sexto termo, não 20% de toda a distribuição.
A relação entre dois termos de uma PG é:
Cada termo do segundo bloco está três posições depois de um termo do primeiro. Assim:
Somando e colocando o fator comum \(q^3\) em evidência:
Como o enunciado informa \(B_2=27B_1\) e \(B_1>0\), dividimos por \(B_1\):
Atenção: 27 é o fator entre as somas dos blocos. A razão entre etapas consecutivas é 3.
Para \(q\neq1\), a soma dos primeiros \(n\) termos é:
Substituindo \(S_6=1820\) e \(q=3\):
Como \(3^6=729\):
Foram distribuídos 5 kits na primeira etapa.
Agora precisamos de um termo específico. Usamos o termo geral:
São 1.215 kits somente na sexta etapa.
A reserva adicional corresponde a 20% da quantidade anterior:
Como 20% equivale a um quinto:
Resposta: alternativa A, 243 kits. A reserva é adicional e não altera o total de 1.820 kits já distribuídos.
Conferência
Com primeiro termo 5 e razão 3, a sequência é:
Somando os blocos separadamente:
As duas condições do enunciado foram atendidas.
Quando dois blocos têm a mesma quantidade de termos, observe a distância entre os termos correspondentes. Aqui, essa distância é três; por isso, o segundo bloco é o primeiro multiplicado por \(q^3\). Depois, confira sobre qual quantidade a porcentagem deve incidir.
Esse problema combina interpretação do enunciado, relações entre termos, soma finita e porcentagem. Ele avalia se o candidato consegue transformar informações sobre totais em relações matemáticas e escolher a fórmula adequada em cada etapa. A dificuldade está em reconhecer o fator \(q^3\) entre os blocos e distinguir o total distribuído da quantidade da sexta etapa. Esta é uma questão autoral no estilo FGV, que combina conceitos observados na análise; não representa uma questão real nem uma comprovação da frequência dessa estrutura nas provas da banca.
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Estes exercícios são questões reais da FGV?
Não. Os cinco exercícios são autorais, elaborados no estilo FGV. A seleção de conceitos foi orientada por uma análise realizada em 2026, com uma amostra de questões de provas aplicadas entre 2022 e 2024. Essa amostra não representa todas as provas da banca.
As atividades trabalham reconhecimento da PG, crescimento percentual, relações entre termos, soma finita, termos equidistantes e uma aplicação em juros compostos. Os perfis de concurso indicados são sugestões didáticas, não uma garantia de cobrança em edital.
Questão 1: por que um aumento de 20% corresponde à razão 1,20?
O novo valor conserva 100% da quantidade anterior e acrescenta mais 20%. Portanto, corresponde a 120% do anterior. Para um aumento de p%:
Na campanha da agência, as primeiras quantidades são:
A razão é 1,20. Multiplicar por 0,20 calcula apenas o acréscimo, não a quantidade final. Por exemplo, 20% de 250 são 50 atendimentos; a nova quantidade é 250 + 50 = 300.
Questão 1: por que o crescimento percentual constante forma uma PG, e não uma PA?
Uma PA tem diferença constante entre termos consecutivos. Uma PG tem fator multiplicativo constante.
Na sequência de atendimentos, os aumentos absolutos mudam:
Já os quocientes permanecem iguais:
Por isso, a sequência é uma PG. O aumento de 20% incide sobre uma quantidade diferente a cada semana.
Questão 2: como encontrar a razão quando os termos não são consecutivos?
Use a relação entre dois termos. O expoente indica a diferença entre suas posições:
Na digitalização, o terceiro dia tem 80 documentos e o sexto tem 640. Há três avanços entre eles:
O quociente 640 ÷ 80 fornece q³, e não q. Encontrada a razão, avançamos dois dias a partir do sexto:
Foram digitalizados 2.560 documentos somente no oitavo dia.
Questão 3: quando usar a soma dos termos em vez do termo geral?
Use o termo geral para calcular uma quantidade em uma etapa específica. Use a soma finita quando o enunciado pedir o total de quantidades de várias etapas, como as entregas dos seis dias.
Na distribuição de materiais, o primeiro termo é 3 e a razão é 2. A entrega somente do sexto dia é:
Mas a questão pede o total entregue ao longo dos seis dias. Para q diferente de 1:
Podemos conferir:
Portanto, 96 é a entrega do último dia; 189 é o total de caixas entregues.
Questão 4: como reconhecer e usar os termos equidistantes?
O termo procurado deve estar à mesma distância dos dois termos conhecidos. Na atividade dos cartões, o quinto termo está três posições depois do segundo e três antes do oitavo:
Em uma PG, vale a propriedade:
Assim:
Escolhemos a raiz positiva porque o enunciado informa que os termos são positivos. A propriedade evita calcular primeiro a razão e o primeiro termo.
Questão 5: por que o saldo após três meses é o quarto termo da PG?
Nesta resolução, o capital inicial, no mês zero, foi definido como o primeiro termo. Por isso, o saldo após um mês é o segundo termo; após dois meses, o terceiro; e após três meses, o quarto.
A sequência de saldos é:
São quatro saldos, mas apenas três períodos de rendimento. Pelo termo geral:
A posição depende de como o primeiro termo é definido. Aqui, incluir o capital inicial na sequência exige usar o quarto termo para o saldo após três meses.
Questão 5: qual é a diferença entre montante e rendimento? Devemos somar os saldos?
O montante é o saldo final, incluindo o capital inicialmente aplicado. O rendimento é o valor ganho além desse capital.
A resposta é R$ 662,00 de rendimento. R$ 2.662,00 é o montante.
Não somamos os saldos mensais, pois cada saldo já inclui o dinheiro dos meses anteriores. Somá-los contaria repetidamente o mesmo capital. Neste exercício, usamos um termo da PG e subtraímos o primeiro termo.
Questão 5: também é possível resolver pela fórmula de juros compostos?
Sim. O objetivo desta página é resolver por Progressão Geométrica, mas a fórmula de juros compostos representa a mesma evolução multiplicativa:
M é o montante, C é o capital inicial, i é a taxa por período em forma decimal e t é a quantidade de períodos. Com 10% ao mês durante três meses:
A ligação com a PG é:
Não basta somar 10% três vezes: no regime composto, cada rendimento permanece aplicado e participa do cálculo do mês seguinte.
Como estudar estas cinco questões para aproveitar as resoluções?
Tente resolver antes de abrir o gabarito. Anote os dados, identifique se a questão pede uma razão, um termo, uma soma ou um rendimento e escolha a fórmula correspondente.
Depois, confira a resposta e compare os passos. Se houver erro, identifique se ele veio da interpretação, da contagem dos índices, da escolha da fórmula ou do cálculo. Feche a resolução e refaça a questão para verificar se compreendeu o raciocínio.
